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高中幾何證明題
文章來源:深圳家教  文章作者:深圳家教網  點擊:3866  錄入時間: 2012-6-24  
高中幾何證明題

圖5
1、(本題14分)如圖5所示, 、 分別世 、 的直徑, 與兩圓所在的平面均垂直, . 是 的直徑, , .

(I)求二面角 的大小;
(II)求直線 與 所成的角.
 
 
解:(Ⅰ)∵AD與兩圓所在的平面均垂直,
∴AD⊥AB, AD⊥AF,故∠BAD是二面角B—AD—F的平面角,
依題意可知,ABCD是正方形,所以∠BAD=450.
即二面角B—AD—F的大小為450
 
(Ⅱ)以O為原點,BC、AF、OE所在直線為坐標軸,建立空間直角坐標系(如圖所示),則O(0,0,0),A(0, ,0),B( ,0,0),D(0, ,8),E(0,0,8),F(0, ,0)
所以,
設異面直線BD與EF所成角為 ,則
直線BD與EF所成的角為
 
 
2.(本題滿分 分)
如圖,已知正三棱柱 — 的底面邊長是 , 是側棱 的中點,直線 與側面 所成的角為 .
     (Ⅰ)求此正三棱柱的側棱長;
(Ⅱ) 求二面角 的大小;
(Ⅲ)求點 到平面 的距離.
 
 
解:(Ⅰ)設正三棱柱 — 的側棱長為 .取 中點 ,連 .
是正三角形, .
又底面 側面 ,且交線為 .
側面 .
連 ,則直線 與側面 所成的角為 .   ……………2分
在 中, ,解得 .       …………3分
此正三棱柱的側棱長為 .                         ……………………4分
 注:也可用向量法求側棱長.
(Ⅱ)解法1:過 作 于 ,連 ,
側面 .
為二面角 的平面角.           ……………………………6分
在 中, ,又
,  .
在 中, .               …………………………8分
故二面角 的大小為 .               …………………………9分
解法2:(向量法,見后)
(Ⅲ)解法1:由(Ⅱ)可知, 平面 , 平面 平面 ,且交線為 , 過 作 于 ,則 平面 .                      …………10分
在 中, .         …………12分
為 中點, 點 到平面 的距離為 .       …………13分
解法2:(思路)取 中點 ,連 和 ,由 ,易得平面
平面 ,且交線為 .過點 作 于 ,則 的長為點 到平面 的距離.
解法3:(思路)等體積變換:由 可求.
解法4:(向量法,見后)
題(Ⅱ)、(Ⅲ)的向量解法:
(Ⅱ)解法2:如圖,建立空間直角坐標系 .
則 .
設 為平面 的法向量.
由  得 .
取                                        …………6分
又平面 的一個法向量                           …………7分
.   …………8分
結合圖形可知,二面角 的大小為 .         …………9分
(Ⅲ)解法4:由(Ⅱ)解法2, …………10分
點 到平面 的距離 = .13分
 
 
來源:www.0755-jj.com 深圳家教
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